Anasayfa > Matematik

Uzayda Yer Belirleme Prensipleri

Ali Eskici
alieskici.com

Uzaylar; doğru, düzlem ve küp olsun. Bu uzaylarda sinyal yayan bir cismin yerini belirleyebilmek için kaç tane sinyal alıcısına ne şekillerde ihtiyaç vardır?

Bir Boyutlu Uzayda İzleme

Doğru üzerindeki bir noktanın, örneğin; otobanda hareket eden bir araçtan yayılan EMD(Elektromanyetikdalga)'yi algılama yoluyla yerini kesin olarak ve hemen belirlemek için iki sinyal alıcısı yeterli. Alıcılardan biri vericinin uzaklığını belirler, diğeri ise hangi yönde olduğunu. İki vericinin çembersel noktalardaki kesişim noktası vericinin yeridir. Alıcı 1 ile izlenen arasındaki uzaklık A1, Alıcı 2 ile izlenen arasındaki uzaklık A2 iken; A1 - A2 < 0 ise izlenen Alıcı 1'e yakın, A1 - A2 > 0 ise izlenen Alıcı 2'ye yakındır. Şekil 1'i inceleyiniz.

Bir boyutlu uzayda yer belirleme prensip şeması.

İki Boyutlu Uzayda İzleme

Düzlem üzerinde izlenen bir noktanın yerini saptayabilmek içinse en az üç alıcı gerekir. Bunların herbirinin sinyal yayan izlenene olan uzaklıklarının kesişim noktası izlenenin yerini belirler. Bu işlem doğruya göre biraz daha karmaşıktır. Şöyle:

Alıcılardan biri Alıcı 1'in vericiye olan uzaklığı A1 olarak saptanmışsa; bu, izlenenin A1 yarıçaplı, Alıcı 1, yani O1 merkezli bir çember üzerinde olduğunu gösterir. Bu durumda ikinci alıcı; Alıcı 2'nin izlenene olan uzaklığı A2 ile O2 merkezli çembersel olası bulunma noktaları kesişimleri olan; yani iki çemberin kesişimi iki noktadan birinde izlenen bulunur. Büyük uzaklıklarda her iki noktanın da kontrol edilmesi zor olacağından ve burada önemli olan izlenenin yerini kesin olarak belirlemek olduğundan üçüncü bir alıcıya gereksinim var. Şunu da unutmadan belirteyim ki; bu alıcıların birbirleri arasındaki uzaklık, alıcı sistemin uzaklık belirleme minimum eşik değerinden büyük olmalıdır. Aksi halde sonsuz sayıda çözüm ortaya çıkar ve izlenenin yeri belirlenemez. Üçüncü alıcı ile izlenen arasındaki A3 uzaklığının O3 merkezli çemberle belirlenmesiyle elde edilen üç çemberin kesişim noktası tektir. Bu nokta izlenenin yeridir. Şekil 2'yi inceleyiniz.

İki boyutlu uzayda yer belirleme prensip şeması.

Üç Boyutlu Uzayda İzleme

Üç boyutlu uzayda izlenen bir noktanın yerini belirleyebilmek içinse en az dört alıcı gerekir. Alıcılardan herhangi biri izlenenin yerini küresel olarak belirler. İkincisi küre üzerindeki küresel izdüşümü veya teğeti (genellikle teğet özel durumdur ve pratikte varsayılmaz) yani izlenenin yerini çembersel bölge olarak belirler. Üçüncü alıcı bu çembersel bölge üzerinde izlenenin yerini bir küre ve bir çemberin kesişimi olan iki nokta olarak belirler ve dördüncü alıcı iki nokta ve bu noktaların sadece birinden geçen (çünkü dördüncü alıcı ile birincinin merkezi aynı değil) bir kürenin kesişimi olan tek noktayı yani izlenenin yerini gösterir. Şekil 3'ü inceleyiniz.

Üç boyutlu uzayda yer belirleme prensip şeması.

Genel olarak bu gösteriyor ki; izlenenin yerini belirlemek için bulunulan boyut sayısının en az bir fazlası kadar alıcı (izleyen) olması gerekir. Yani aslında aynı birkaç boyutu üstüste bindirerek ortak noktalar aranır.

Dünya yüzeyinde izlenenle izleyen arasındaki uzaklık arttıkça üçüncü boyuta girilir. Ama yine de dört alıcı gerekmez. Çünkü üçüncü alıcı ile belirlenmesi gereken ikinci ortak olası nokta dünyanın içinde kalır.

Tüm alıcılara olan uzaklıklar belirlendikten sonra alıcıların bulunduğu noktalarla çakışan bir harita üzerinde izleyenlerin yerleri işaretlenirse kesişim noktasının bulunduğu yer haritada da açıkça görülecektir. Bu noktada yapılması gereken matematiksel işlemler şöyle olmalıdır:

Herhangibir boyutta; alıcıların merkezleri On, alıcıların izlenene olan uzaklıkları An olsun. Buna göre izlenenin haritadaki kesin yerini belirlemek için işlemler:

Sistem uzayda, uzaklıkları vektör olarak göstermelidir. Vektörlerin başlangıç noktaları da On merkezleri olmalı. O halde örneğin üç boyutlu uzayda herhangi iki izleyicinin izlenene olan uzaklıkları An ve Ap ise; bunlar On ve Op merkezli vektörler olacaktır. Bu iki vektörün On ile Op arasındaki uzaklığa bağlı olarak oluşturacağı üçgensel alanların sayısı 2 olur. On ile Op arasındaki uzaklığı m(|n-p|) olarak ifade eder ve bu uzaklığı da vektör olarak ifade etmek için merkezini m(min{n,p}) seçersek izlenenin bulunduğu noktayla birlikte tüm vektörler şu şartı sağlamalıdır:

An + Ap = m(min{n,p})

Bu vektörel eşitlik ifadesi yanında;

An - Ap = m(min{n,p}) veya -An + Ap = m(min{n,p})
veya
An - Ap = m(min{n,p}) veya An - Ap = m(min{n,p})

ifadelerinden biri de doğru olacağından izlenenin yeri önce de açıkladığım gibi iki farklı konumda olacaktır. Üçüncü bir alıcı işleme konursa; onun değerlerinde Ar, Or dersek;

An - Ar = m(min{n,r}) ifadesi ortaya çıkar. Bu da öncekinde olduğu gibi;

An - Ar = m(min{n,r}) veya -An + Ar = m(min{n,r}) durumlarından birinin doğru olmasını gerektirir.

Tüm bu ifadeleri numaralandırırsak;

An - Ap = m(min{n,p}) (1)
-An + Ap = m(min{n,p}) (2)
An - Ar = m(min{n,r}) (3)
-An + Ar = m(min{n,r}) (4) olsun.

(Burada birkaç eşitlik daha yazmak gerekliydi. Ama bu kadarı konunun anlaşılması için yeterli olduğundan ifadeleri ayrıntılandırarak uzatmak çok anlamlı değil.)

Bu eşitliklerde sol ve sağ taraftaki tüm ifadeler biliniyor. İzlenenin yerini belirleyebilmek için hepsi ikişer ikişer karşılaştırılabilir. 4C2 = 6 olduğundan 3 izleyenin verilerinde 6 karşılaştırma gereklidir. Tüm bu karşılaştırmalı vektörel işlemlerle izleyenin yeri belirlenir.

Kaynak: Bir filmde yakalanması gereken birini CIA ajanları yukarıda açıkladıklarımdan düzlem üzerinde araştırma; üç noktadan yer belirleme prensibine göre buluyorlardı. Bu sistemin ve buna benzer olanlarının nasıl çalışıyor olması gerektiğini düşündüm ve bu yazıdakiler ortaya çıktı.

Ali Eskici
21.05.2004